Tam giác, một loại hình cơ bản trong hình học, là hình hai chiều có ba đỉnh và ba cạnh. Tam giác luôn là một đa giác đơn và là một đa giác lồi, với các góc trong luôn nhỏ hơn 180°. Một tam giác được ký hiệu là △ABC.
Từ nguyên
Chữ Hán: 三角; nghĩa: "ba góc".
Các yếu tố trong một tam giác
Các góc trong tam giác được gọi là góc trong, và các góc kề bù với góc trong được gọi là góc ngoài. Mỗi tam giác chỉ có 3 góc trong và 6 góc ngoài.
Các đường đồng quy của tam giác
Đường cao là đoạn thẳng đi qua một đỉnh và vuông góc với cạnh đối diện của đỉnh đó. Tam giác có ba đường cao. Ba đường cao của một tam giác đồng quy tại một điểm, được gọi là trực tâm của tam giác. Đường cao đi qua đỉnh góc vuông của một tam giác vuông thì sẽ chia tam giác ấy thành 2 tam giác đồng dạng với tam giác đã cho.
Đường trung tuyến là đoạn thẳng nối từ đỉnh đến trung điểm của cạnh đối diện. Một tam giác chỉ có ba đường trung tuyến. Ba đường trung tuyến của một tam giác đồng quy tại một điểm, được gọi là trọng tâm của tam giác. Khoảng cách từ trọng tâm đến mỗi đỉnh bằng 2/3 đường trung tuyến tương ứng với đỉnh đó, và khoảng cách từ trọng tâm đến mỗi trung điểm bằng 1/3 đường trung tuyến tương ứng với điểm đó. Trên một mặt phẳng, đường thẳng đi qua bất kỳ một đỉnh và trọng tâm của tam giác đều chia tam giác đó thành hai tam giác có diện tích bằng nhau. Trong một tam giác, ba trung tuyến chia tam giác đó thành 6 tam giác có diện tích bằng nhau.
Đường trung trực là đường vuông góc với một cạnh của tam giác đó tại trung điểm. Mỗi tam giác chỉ có ba đường trung trực. Ba đường trung trực của một tam giác đồng quy tại một điểm, được gọi là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác. Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác cách đều ba đỉnh của tam giác đó.
Đường phân giác là đoạn thẳng nối từ đỉnh đến cạnh đối diện và chia góc ở đỉnh làm 2 phần có số đo góc bằng nhau. Mỗi tam giác chỉ có ba đường phân giác. Ba đường này đồng quy tại một điểm, được gọi là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác. Khoảng cách từ tâm của đường tròn nội tiếp tam giác tới các cạnh là bằng nhau. Đường phân giác đi qua một góc của một tam giác thì chia cạnh đối diện của góc đó thành các đoạn tỉ lệ với hai cạnh còn lại của tam giác.
Theo định lý Euler, trong một tam giác: Trực tâm, trọng tâm, tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác cùng thuộc một đường thẳng, và trọng tâm nằm giữa trực tâm và tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác. Từ trực tâm đến tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác cách nhau 3 lần từ trọng tâm đến tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác. Đường thẳng chứa ba điểm đó được gọi là đường thẳng Euler.
Đối với các đường đồng quy của một tam giác (đường cao, đường trung tuyến, đường trung trực, đường phân giác), ta có thể nhận xét như sau:
- Trọng tâm và tâm đường tròn nội tiếp luôn luôn nằm trong tam giác.
- Trực tâm nằm ngoài tam giác khi đó là tam giác tù, trùng với đỉnh góc vuông khi đó là tam giác vuông, nằm bên trong khi đó là tam giác nhọn.
- Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác nằm ngoài tam giác khi đó là tam giác tù, trùng với cạnh (là trung điểm của cạnh huyền) khi đó là tam giác vuông, nằm bên trong tam giác khi đó là tam giác nhọn.
- Trong một tam giác cân, trực tâm, trọng tâm, tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác, tâm của đường tròn nội tiếp tam giác sẽ thẳng hàng với nhau. Đường thẳng đó chính là đường trung tuyến, đồng thời cũng là đường phân giác, đường trung trực và đường cao ứng với cạnh đáy.
- Trong một tam giác đều, trực tâm, trọng tâm, tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác, tâm của đường tròn nội tiếp tam giác trùng nhau. Các cặp đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực, đường cao cũng trùng nhau.
- Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối hai trung điểm của hai cạnh trong một tam giác. Đường trung bình có tính chất: song song với cạnh thứ ba và bằng một nửa cạnh thứ ba.
Sự bằng nhau giữa các tam giác
Hai tam giác được gọi là bằng nhau khi chúng có thể đặt trùng khít lên nhau sau một số phép tịnh tiến, quay và đối xứng. Hai tam giác được coi là bằng nhau nếu có các cạnh tương ứng bằng nhau và các góc tương ứng bằng nhau. Có bảy điều kiện để hai tam giác được coi là bằng nhau.
Sự đồng dạng giữa các tam giác
Hai tam giác được gọi là đồng dạng nếu một trong chúng bằng với một tam giác nhận được từ tam giác kia sau một phép vị tự. Có năm điều kiện để các tam giác được xem là đồng dạng.
Phân loại tam giác
Trong hình học Euclid, tam giác thường là loại hình phổ biến nhất. Tam giác phẳng có một số dạng đặc biệt, được xét theo tính chất các cạnh và các góc của nó.
Các định lý nổi tiếng như Pythagoras, Apollonius, Stewart và Thales cũng được áp dụng trong tam giác. Qua đó, ta có thể tính toán diện tích, chu vi, và phân loại các tam giác theo độ dài cạnh và số đo góc.
